Méthode Monte Carlo

La génération d’entiers naturels pseudo-aléatoires fait appel à la suite rappelée ci-dessous :

\(\begin{cases} I_0 \in \mathbb{N} \quad \text{avec} \quad \qquad I_0<m\\ I_{n+1}=(a \times I_n + c) \quad \text{mod} \,\, m \end{cases}\)

• Le premier terme de la suite est noté I₀ et représente un entier naturel appelé germe. Une base de germes est fournie dans le cadre de ce projet pour tous les groupes.

• Le terme I_n+1 est déduit du terme I_n en considérant le reste de la division entière par m, appelée la base, de la somme d’un décalage noté c et du produit de I_n par un multiplicateur noté a. La fonction =MOD() permet d’obtenir directement le reste de cette division entière.

Le caractère pseudo-aléatoire des entiers naturels ainsi générés dépend du choix du multiplicateur noté a, du choix de la base notée m et du choix du décalage noté c.

Brian Wichmann et David Hill ont proposé en 1982 les valeurs suivantes pour la génération de 30000 valeurs pour trois suites distinctes :

\((I_{n,1}) : \begin{cases} m=30269 \\ a=171 \\ c = 0\end{cases} \quad (I_{n,2}) : \begin{cases} m=30307 \\ a=172 \\ c = 0\end{cases} \quad (I_{n,3}) : \begin{cases} m=30323 \\ a=170 \\ c = 0\end{cases}\)

Il convient ensuite de combiner les valeurs des entiers naturels obtenues pour chacune des trois suites précédentes à partir de la relation suivante :

\(u_k=\Biggl( \dfrac{I_{k,1}}{30269}+\dfrac{I_{k,2}}{30307}+\dfrac{I_{k,3}}{30323} \Biggr) \quad \text{mod} \, \, 1\)

Le résultat est une suite de nombres réels pseudo-aléatoires distribués suivant une loi uniforme :

\(0 \leq u_n \leq 1\)

Ces nombres réels pseudo-aléatoires sont ensuite transformés à partir des fonctions réciproques de lois de probabilité.

La littérature et les experts ne recommandent pas d’utiliser les fonctions =ALEA() et =ALEA.ENTRE.BORNES() pour la génération de nombres aléatoires. Ces fonctions présentent un phénomène de périodicité rapprochée. Elles restent cependant utiles dans de nombreuses applications.