Modéliser le mouvement d'un point appartenant à un solide en translation

La modélisation du mouvement d'un solide se traduit par 3 équations horaires générales du mouvement selon la définition de l'accélération (nulle, constante ou variable). Les équations qui suivent, ne s'appliquent pas pour une accélération variable (dans ce cas, il faudra utiliser un logiciel de simulation).

FondamentalMouvement de Translation Uniforme :Accélération nulle : a(t) = 0

Équations horaires générales du mouvement uniforme (MU) :

  • a(t) = 0

  • v(t) = constante = vi

  • x(t) = vi . ( t - ti ) + xi

où xi, vi et pi sont les conditions initiales (ce sont des constantes à déterminer).

Exemple

Exemples d'applications et allures des courbes caractéristiques des équations horaires :

Exemple phase1 : trouver x1 connaissant v1 et t1

x1 = v1 (t1-t0) + x0

= 4 (2-0) + (-5) = 3 m

Exemple phase 2 : trouver v2 connaissant x2 et t2

x2 = v2(t2-t1) +x1

\(v2 = \frac {x_2 - x_1} {t_2 - t_1} = \frac {1-3} {4 - 2} = -1 m/s\)

FondamentalMouvement de Translation Uniformément Varié : Accélération constante : a(t) = constante

Équations horaires générales du mouvement uniformément varié (MUV) :

  • a(t) = constante = ai

  • v(t) = ai . ( t - ti ) + vi

  • x(t) = 0,5 . ai . ( t - ti )2 + vi . ( t - ti ) + xi

où ti, ai, vi et pi sont les conditions initiales (ce sont des constantes à déterminer).

Exemple

Exemples d'applications et allures des courbes caractéristiques des équations horaires :

Exemple phase1 : trouver x1 et v1 connaissant a1,v0 et t1

\(x_1= \frac {1} {2} a_1 (t_1-t_0) ^2 + v_0(t_1-t_0) + x_0 =\)

\(x_1= \frac {1} {2} 2.5 (2-0) ^2 -3(2-0) + 4 = 3 m\)

v1 = a(t1-t0) + v0

v1 = 2.5 (2-0) -3 = 2 m/s

Exemple phase 2 : trouver et a2 et x2 connaissant v2 et t2

v2 = a2(t2-t1) +v1

\(a2 = \frac {v_2 - v_1} {t_2 - t_1} = \frac {-1.5-2} {4 - 2} = -1.75 m/s2\)

\(x_2= \frac {1} {2} a_2 (t_2-t_1) ^2 + v_1(t_2-t_1) + x_1 =\)

\(x_2= \frac {1} {2}(- 1.5) (4-2) ^2 + 2(4-2) + 2 =3m\)

Remarque

La distance d parcourue pendant une phase de mouvement correspond à la différence de positions entre le début et la fin de la phase :

d = xf -xi