Fermeture géométrique
La fermeture géométrique est une méthode permettant d'obtenir une relation entre les paramètres de position de l'entrée et ceux de la sortie.
Si l'on souhaite obtenir une relation entre les paramètres de vitesse, il faudra dériver l'équation obtenue par rapport au temps.
Ci-dessous, on donne les différentes étapes pour écrire une loi entrée-sortie à partir de la fermeture géométrique :
Écrire une chaîne fermée de vecteurs position ;
Écrire l'expression vectorielle ;
Projeter les vecteurs dans une base commune ;
Manipuler les équations pour simplifier.
Méthode : 1. Chaîne fermée de vecteurs position
Pour chaque chaîne fermée (cf. graphe des liaisons), exprimer une somme nulle de vecteurs position (utilisation de la relation de CHASLES).
Exemple :
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{0}\)
Méthode : 2. Expression vectorielle
Remplacer chaque vecteur position par son expression vectorielle connue.
Exemple :
\(a\vec{x_1}+b\vec{x_2}+c\vec{x_3}+d\vec{y_1}=\vec{0}\)
Méthode : 3. Projection dans une base commune
Choisir une base dans laquelle projeter tous les vecteurs unitaires, afin d'obtenir une ou plusieurs expressions scalaires.
Exemple :
\(a\vec{x_1}+b(\cos \theta \vec{x_1}+\sin \theta \vec{y_1})+c(\cos \beta\vec{x_1}+\sin \beta \vec{y_1})+d\vec{y_1}=\vec{0}\)
Ce qui en donne en projection sur \(\vec{x_1}\) et sur \(\vec{y_1}\) :
\(a+b \cos \theta +c \cos \beta=0\)
\(b \sin \theta +c \sin \beta +d=0\)
Méthode : 4. Manipulation des équations scalaires
Manipuler si besoin les équations scalaires afin d'obtenir une équation ne liant les paramètres d'entrée et de sortie que par des termes connus.
Exemple :
Si \(\theta\) est la sortie et \(\beta\) l'entrée, à partir des équations précédentes, on peut écrire:
\(b \cos \theta =-c \cos \beta - a\)
\(b \sin \theta = -c \sin \beta - d\)
On peut obtenir la loi entrée-sortie suivante :
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{c \sin \beta + d}{c \cos \beta + a}\)