Théorème Centrale limite

Soient \(X_1\), \(X_2\), . . ., \(X_n\), \(n\) variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de moyenne \(m\) et d’écart type \(\sigma\).

Si \(n \geq 30\), la variable aléatoire, moyenne arithmétique, \(\bar{X}\), des \(X_i\), \(\bar{X} =\dfrac{ X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}\) suit une loi normale de paramètres m et d’écart type \(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\).

Remarque

Si les \(X_i\) sont distribuées normalement la condition \(n > 30\) n’est pas nécessaire.

TCL : loi uniforme

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a<-0
2
b<-10
3
m=(a+b)/2
4
sigma<-(b-a)/sqrt(12)
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Nbsimul<-1000
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taille<-30
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Result<-NULL
8
for(i in 1:Nbsimul)
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{
10
  tirage<-runif(taille,0,10)
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  Result[i]<-mean(tirage)
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}
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hist(Result,freq=FALSE,col='blue',
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     ylim=c(0,dnorm(m,m,sigma/sqrt(taille))),
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     main = "TLC :loi uniforme",xlab="moyennes observées",ylab="fréquences observées")
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curve(dnorm(x,m,sigma/sqrt(taille)),add=T,col='red',lty=3,lwd=2)

Les canards et les chasseurs

Dix chasseurs, tous tireurs d’élite, sont à l’affût aux canards devant un rocher. Dix canards se posent sur le rocher. Les chasseurs ne peuvent tirer qu’une seule fois et ne peuvent repérer qui tire sur tel canard. Ils tirent tous en même temps, chacun choisissant sa victime au hasard.

Combien de canards survivront en moyenne si l’on répète souvent cette expérience ?

Considérons un canard quelconque, le numéro 3 par exemple. Il survivra si chacun des dix chasseurs choisit un canard autre que lui. La probabilité de cet évènement est \(p = \Bigl( \dfrac{9}{10}\Bigr)10\). Chacun des dix canards sera sauf avec la même probabilité \(p\).

D’après l’interprétation en fréquence relative de la probabilité, il y aura en moyenne \(10 \times 0,9^{10} \approx 3,5\)

Simulation avec un programme R

On suppose que les dix canards portent les numéros 0, 1, ... , 9. Pour cela on crée un tableau appelé num_canard. On tire un échantillon aléatoire et avec remise de taille 10. Le résultat est rangé dans un tableau appelé canard_vise. A chaque simulation on compare le tableau obtenu avec le tableau initial num_canard, ce qui nous donne le nombre de canards survivants.

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nb_canard_vivant<-NULL
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num_canard<-c(0:9) # numéros des canards
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nbre_simul<-10000 # nombre de simulations
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for (i in 1:nbre_simul)
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{
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canard_vise<-sample(num_canard,10,replace= TRUE) # tirage de 10 entiers compris entre 0 et 9
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nb_canard_vivant[i]<-sum(num_canard==sort(canard_vise))
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}
9
table(nb_canard_vivant) # tableau d'éffectifs
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plot(table(nb_canard_vivant)/nbre_simul, xlab="canards vivants", ylab="la proportion")
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mean(nb_canard_vivant)# la moyenne observée